Uvod

U prirodnim i tehničkim znanostima, pa i u tehničkoj mehanici, postoje dva osnovna načina znanstvenog istraživanja: eksperimentalni i teorijski.

Ovaj se prikaz odnosi na teorijska istraživanja u našem  zavodu. 

  Pregled je podijeljen na tri dijela:

1. Temeljna znanstvena istraživanja
2. Znanstvena istraživanja namijenjena praktičnoj primjeni
3. Stručna istraživanja

Radovi pod 1. bili su motivirani namjerom da se riješi neki problem tehničke mehanike, dok su oni pod 2. i 3. služili za primjenu pri projektiranju i proračunu.

Stručna istraživanja pod 3. nisu zasnovana na formalno znanstvenom pristupu, nego na intuiciji i heuristici. I ona su znatno pridonijela unapređenju projektantske prakse.

Razvoj se može podijeliti na dva razdoblja:  "ručno"  i kompjutorsko razdoblje. U prvom razdoblju mnoge su se ideje za matematičke modele i algoritme morale napustiti zbog ograničenog kapaciteta, male točnosti, nepouzdanosti i sporosti čovjeka oboružanog samo olovkom i gumicom te logaritamskim računalom ili mehaničkim kalkulatorom. Mogućnosti računala također su ograničene, ali su granice numeričkih proračuna neusporedivo više od ljudskih, pa se mogu realizirati mnoge ranije neostvarive ideje.

U početku se mislilo da se na računalu može raditi samo s numeričkim metodama, ali je u posljednje vrijeme u svijetu nastala renesansa analitičkih metoda pomoću simboličkoga softvera. U Zavodu se upotrebljava simbolički programski paket  "MATHEMATICA".

Znanstveni se rad u Zavodu  poslije Drugog svjetskog rata odvijao kroz znanstvene projekte kojih su nosioci bili nastavnici Zavoda (Z. Kostrenčić, V. Šimić, K. Herman, M. Anđelić, V. Simović, V. Korošec, A. Kiričenko, J. Dvornik), a koje su financirali Naučni fond SFRJ, SIZovi znanosti, Hrvatske ceste, Građevinski institut, Građevinski fakultet te, danas, Ministarstvo znanosti Republike Hrvatske.

Temeljna istraživanja

(U pregledu su imena nekadašnjih i sadašnjih članova označena kurzivom.)

Teorija ploča

Znatan broj istraživanja bio je posvećen teoriji ploča u elastičnom i plastičnom području. Ovdje se navode samo radovi svrstani u temeljna istraživanja:

Proučavala se upetost ploče zbog torzionog otpora nosača kod monolitnih željeznobetonskih konstrukcija. (O. Werner, disertacija, 1941). Razvijena je nova analitička teorija tankih i umjereno debelih ploča s uzimanjem u obzir poprečnih deformacija. Teorija se ocjenjuje kao poboljšanje u odnosu na druge teorije takvih ploča poznate u svijetu. (H. Werner, disertacija, 1985.).

Naprezanja u tankim elastičnim slojevima

Istraživala su se naprezanja u tankom elastičnom višeslojnom modelu na krutoj podlozi primjenom beskonačnih redova. (Z. Kostrenčić, disertacija, 1953.). Rezultati tog rada su iskorišteni pri izradi i primjeni električnih otpornih tenzometara. Druga se primjena odnosila na krhke lakove, koji se upotrebljavaju kod ispitivanja konstrukcija.

Egzaktna metoda konačnih diferencija

Rješavao se niz problema linearne štapne statike egzaktnom metodom konačnih diferencija. Rješenje je u toj metodi izraženo u zatvorenom obliku, a trajanje proračuna ne ovisi o broju nepoznanica. Konstante se određuju numerički, rješenjem algebarskih jednadžbi. Metoda je ograničena na regularne sustave. Neki su važniji rezultati:

·         Djelovanje otpora na vibracije kinematički ekscitiranog štapa jednoliko distribuirane mase,    ( V. Korošec, magistarski rad, 1968.)

·         Harmonijska kinematička eksitacija okvira s krutim prečkama,( V. Korošec, disertacija, 1972.)

·         Poprečne vibracije štapa pričvršćenog elastičnim perima, (V .Korošec)

·         Utjeraj uzdužne deformacije stupova na matricu krutosti jednopoljnog okvira, (V. Korošec)

·         Oscilacije regularnih prostornih okvira s krutim pločama (slobodne oscilacije, oscilacije pod djelovanjem impulsa, oscilacije pobuđene pomicanjem tla), ( V. Korošec)

·         Oscilacije kontinuiranih nosača, (V. Korošec)

·         Statička i dinamička analiza regularnog okvirnog sustava na lateralno djelovanje rekursijskim postupkom,( M. Staneković, disertacija, 1991.)

·         Prisilne oscilacije jednoetažnog regularnog okvira, (M. Staneković )

·         Matrica krutosti ravnog štapa konačne dužine, (M. Staneković)

·         Proračun zidova s otvorima, opisan među primijenjenim istraživanjima, također spada u rekursijske postupke, (V. Simović).

Numerička metoda konačnih razlika

Šezdesetih godina se u Zavodu razvija metoda relaksacije i metoda konačnih razlika pri rješavanju ravninskih problema teorije elastičnosti, problema teorije ploča, te problema torzije u elastičnom i plastičnom području. Za ubrzanje konvergencije primjenjivale su se ideje overrelaksacije, relaksacije po blokovima i druge ideje (Z. Kostrenčić, Z. Modor, K. Herman, V. Šimić). U novije vrijeme tu su metodu upotrijebili N. Bjelajac i K. Fresl u svojim disertacijama (vidjeti kasnije).

Primjena analitičkih funkcija

U Zavodu su se provodila istraživanja rješavanja ravnih problema teorije elastičnosti uz pomoć konformnog preslikavanja i analitičkih funkcija. Mushelišvili je dokazao da rješenje diferencijalne jednadžbe ravnog problema teorije elastičnosti konformnim preslikavanjem prelazi u rješenje iste jednadžbe na preslikanom području. Bilo koji ravni problem može se (u načelu) riješiti tako da se zadano područje konformno preslika na jedinični krug, riješi problem na jediničnom krugu te rješenje ponovo inverzno preslika na zadana područja. Poteškoće se pojavljuju kod određivanja funkcije preslikavanja. Članovi Zavoda su tom metodom uspješno riješili niz problema. Radovi su:

·         Analiza naprezanja u kratkoj konzoli  primjenom analitičkih funkcija, (V. Šimić, magistarski rad, 1969.)

·         Poluravnina s ograničenom istakom. (K. Herman, magistarski rad, 1971.)  

·         Komparacija nekih metoda u teoriji elastičnosti,( V. Šimić, disertacija, 1974.) U tom je radu razvijen postupak određivanja kompleksnih potencijala izravno iz rubnih uvjeta metodom najmanjih kvadrata.

·         Poluravnina s trokutastom istakom,( K. Herman, disertacija, 1974.)

Metoda kompleksne promjenjive i konformnog preslikavanja poopćila se za primjene na anizotropno tijelo, te na probleme termoelastičnosti (V. Šimić)

Visokostjeni nosači i zidovi

Problemi visokostjenih nosača su se rješavali na više različitih načina: metodom konačnih diferencija, analitičkom metodom pomoću beskonačnih redova te metodom konačnih elemenata. Radovi su:

·         Proračun visokostjenog nosača s pojačanim rubovima,( M. Anđelić, magistarski rad, 1970.) -   metoda konačnih diferencija

·         Visokostjeni nosač opterećen u srednjoj ravnini,( M. Anđelić, disertacija, 1972.) - metoda beskonačnih redova

Analiziran je i utjecaj promjene temperature na naprezanja i pomake u zidovima (J.Petak, magistarski rad, 1988).

Ponašanje ploča u transkritičnom području

Istraživao se utjecaj imperfekcije na stabilnost pravokutne ploče u elastičnom području. Polje pomaka je aproksimirano dvostrukim beskonačnim redom, a koeficijenti reda su određeni numerički. Sustavi su se nelinearnih jednadžbi rješavali uz pomoć elektroničkog računala (J. Dvornik, magistarski rad, 1971).

Istraživao se problem stabilnosti ploča Polićevom varijantom metode konačnih diferencija. Rješavaju se dva sustava jednadžbi: za pomake u srednjoj ravnini i za pomake izvan ravnine. Oblik ploče je opći poligon s pravim kutovima. Istraženo je transkritično ponašanje i utjecaj imperfekcije (N. Bjelajac, disertacija, 1994).

Teorija plastičnosti

Istraživali su se problemi ploča i greda u plastičnom području. Radovi su:

·         Analogija roštilja i ploča u plastičnom području ( Dž. Kalajdžisalihović, magistarski rad, 1973.)

·         Zajedničko djelovanje pravokutne ploče i rubnih greda u plastičnom području,( Dž. Kalajdžisalihović, disertacija, 1979.)

Kontinuirane naborane konstrukcije

Riješen je problem kontinuiranih naboranih konstrukcija (Z. Despot, magistarski rad, 1976.).

Dinamika ploča

Riješen je problem određivanja oblika i frekvencija slobodnih vibracija ploče slobodno oslonjene duž tri strane, a elastično upete duž četvrte (M. Staneković, magistarski rad, 1978.).

Dinamika štapnih konstrukcija

Rješavalo se više linearnih i nelinearnih problema dinamike štapnih konstrukcija. Radovi su:

·         Prilog dinamičkom proračunu višeetažnih okvirnih konstrukcija,( A. Kiričenko, disertacija, 1978.)

·         Analiza dinamičkog ponašanja konstrukcija pod utjecajem pokretnih mehaničkih sistema metodom konačnih elernenata, (D. Nardini, disertacija, 1979.)

·         Utjecaj geometrijskih karakteristika okvirnih konstrukcija na veličinu unutarnjih sila nastalih uslijed gibanja podloge,( N. Bjelajac, magistarski rad, 1981.)

·         Nelinearni dinamički odgovor okvirnih konstrukcija (V. Raduka, magistarski rad, Skoplje, 1982.)

Rješavali su se i problemi parametarskih  oscilacija prostornih okvira ( V.Raduka, disertacija, 2002.).

Nelinearna teorija betonskih konstrukcija

Istraživao se problem štapnih konstrukcija s materijalnom i geometrijskom nelinearnošću te puzanjem i skupljanjem  (J. Ožbolt, disertacija, 1982).

Također se rješavao problem štapnih  konstrukcija pomoću nelokalnoga kontinuuma (Lj. Kopričanec Matijevac, magistarski rad, 1988).

Istraživao se utjecaj puzanja i skupljanja na nelinearni dinamički odgovor štapnih konstrukcija. (J. Ožbolt, N. Bićanić, D. Nardini).

Istraživanja  plošnih i prostornih konstrukcije, s materijalnom i geometrijskom nelinearnošću (N. Bićanić, J. Ožbolt). Autori su nastavili rad u inozemstvu, a rezultati su poznati u svijetu.

Objavljena je pregledna knjiga o nelinearnim proračunima armiranobetonskih konstrukcija (A. Mihanović, F. Marović, J. Dvornik).

Metoda rubnih elemenata

Objavljeno je više rješenja statističkih i dinamičkih, linearnih i nelinearnih problema (D. Nardini).

Opća analiza sustava

Provedena su istraživanja na području metodologije automatske analize konstrukcija. Rezultati  bi u ekspertnim sustavima mogli poslužiti za formuliranje kriterija za automatsku ocjenu kvalitete konstrukcija. Objavljeni radovi su:

·         Grupiranje osnovnih stanja metode pomaka (H. Werner, 1985.)

·         Prepoznavanje spojenih sustava (H. Werner, 1992.)

Analiza vlastitih vrijednosti matrice krutosti (Z. Despot, 1995).

Primijenjena istraživanja

Timošenkov kvocijent

S. Timošenko, osnivač našeg zavoda imao je goleme zasluge pri uvođenju znanstvenog pristupa u inženjerske probleme i pri razvoju primijenjene mehanike. Problemi mehanike, koje su formulirali matematičari i fizičari, te  metode rješavanja, svrstavale su se u matematičku fiziku i bile gotovo nepoznate u inženjerskim krugovima. (Rušenje rešetkastoga mosta kod Quebeca dogodilo se zbog nepoznavanja problema izvijanja, dugo nakon što je Eulerovo rješenje bilo objavljeno). Timošenko je upozoravao na važnost toga područja za inženjere. Osobno je riješio  velik broj važnih problema, među njima i numeričkih. Kako je Timošenkov boravak u Zagrebu bio kratak, samo bi se mali broj njegovih radova mogao navesti u okviru djelatnosti Zavoda.

Spominjemo samo Timošenkov numerički  postupak, danas poznat kao "Timošenkov kvocijent", objavljen prije njegova dolaska u Zagreb. Postupak znači poboljšanje Rayleighovog kvo­cijenta za određivanje kritičnog opterećenja izvijanja statički određenog štapa promjenjive krutosti i promjenjive uzdužne sile. Poslije je Timošenko razvio poopćeni postupak, kasnije nazvan Timošenko-Ritzovom metodom.

Timošenko je bez predrasuda prihvaćao  numeričke metode za rješavanje problema koje nije moguće analitički riješiti. U to vrijeme su teoretičari tek počinjali prihvaćati i primjenjivati numeričke metode u matematičkoj fizici. To je utjecalo na sadržaj nastave i dalo impuls početku razvoja numeričkih metoda u mehanici na Sveučilištu u Zagrebu.  

Proračuni štapnih konstrukcija

Učestalim građenjem višekatnih zgrada s armiranobetonskim okvirnim konstrukcijama i uvođenjem štapne metode pomaka, pojavio se problem racionalnog rješavanja razmjerno velikih sustava linearnih jednadžbi. Tada uobičajeni neposredni postupci (najčešće Gaussova eliminacija) bili su u doba "ručnih" proračuna dugotrajni, nepregledni i nesigurni zbog opasnosti od neopaženih pogrešaka. 

Tada su se u svijetu počeli pojavljivati posebni postupci relaksacije pogodni za okvirne konstrukcije. Njihova je izrazita prednost "štedljivi" zapis samo elemenata matrice različitih od nule. Zapisi na shemi konstrukcije vrlo su pregledni i olakšavaju inženjersku interpretaciju. Broj računskih operacija je razmjerno malen, posebice u slučaju dobro uvjetovanih matrica, kada je konvergencija brza. Dodatna je prednost svih iterativnih postupaka da se mnoge (pa i grube) proračunske pogreške automatski ispravljaju ili ublažuju u kasnijem toku proračuna.

Članovi Zavoda dali su znatan doprinos razvoju tih metoda.

U Zavodu je razvijen jedan od prvih algoritama u svijetu, zasnovan na metodi pomaka i postupku relaksacije za okvirne konstrukcije u ravnini bez pomaka čvorova (K. Čališev, disertacija, 1922). Rad je u načelu identičan s popularnim, neovisno razvijenim Crossovim postupkom. Crossova je zasluga što je uveo ispis proračuna neposredno na shemi konstrukcije. (Ista se ideja zapisa  primjenjivala i u numeričkoj metodi konačnih diferencija). Crossova se metoda  pokazala nespretnom za proračun okvira s translatornim pomacima čvorova. Zbog toga je nastala potreba razvijanja pogodnijih metoda.

Zanimljivo je spomenuti da je i G. Kani, autor svojevremeno u svijetu vrlo raširene Kanijeve metode proračuna, bio neko vrijeme asistent na Zavodu. On je formulirao metodu relaksacije za rješavanje horizontalno pomičnih okvirnih konstrukcija u ravnini.

Razvijena je još jedna metoda relaksacije za horizontalno pomične okvirne konstrukcije u ravnini (O. Werner). Ona se za horizontalno pomične okvire primjenjivala u kombinaciji s Crossovom metodom. U današnjoj terminologiji njezina se ideja može interpretirati kao eliminacija horizontalnih pomaka s pomoću statičke kondenzacije (to je dokazao V. Simović neposrednom transformacijom matrice krutosti). Od 1951. ta se metoda primjenjivala u APZ Plan, ali nije bila objavljena. Godine 1952. istu je metodu objavio Csonka. U Hrvatskoj je ta metoda poznata pod nazivom Werner-Csonkina metoda.

Objavljeno je i poopćenje Werner-Csonkine metode za teoriju II. reda. Krutost na savijanje  tlačnih štapova može postati negativna (O. Werner).

Werner-Csonkina metoda je modificirana i za okvire s kosim stupovima u najnižoj etaži (V. Simović, habilitacijski rad).

Dalje modifikacije i poopćenja Crossove i Werner-Csonkine metode, provedene u Zavodu su:

·         Proračun okvira s više neovisnih pomaka u etaži (H. Werner, 1971 )

·         Proračun prostornog okvira (relaksacija "oko ugla") (H. Werner, 1973)

·         Relaksacija okvira sa lučnim prečkama (R. Kušević)

·         Različite druge modifikacije metode relaksacije pod vodstvom O. Wernera (za okvire sa zakrivljenim prečkama, za konstrukcije modelirane sa statički neodređenim podkonstrukcijama, sa zglobovima u polju, za posebne slučajeve prostornih okvirnih konstrukcija) (V. Simović, M. Andelić, H. Werner, J. Dvornik,...).

Treba  spomenuti i jedan od najranijih postupaka proračuna štapnih konstrukcija koji je zasnovan na primjeni eliminacije i primijenjen za proračun Vierendelovih nosača s paralelnim pojasima (R. Kušević, disertacija, 1923).

Nakon pojave dostupnih elektroničkih računala počeli su se razvijati u Zavodu programi za automatski proračun okvirnih konstrukcija, zasnovani ručnim na algoritmima relaksacije. U isto su se vrijeme počeli pojavljivati i univerzalni programi iz svijeta. (Usput se navodi da je član našeg Zavoda D. Nardini preveo na hrvatski jezik tekstualne dijelove tada u svijetu vrlo popularnog programa za proračun štapnih konstrukcija STRESS. To je doprinjelo širenju kompjutorskih proračuna za proračun konstrukcija u Hrvatskoj.)

U Zavodu je razvijeno nekoliko algoritama za određivanje kritičnog smjera potresa i ekstremnih unutarnjih sila višekatnih zgrada (N. Bićanić, D. Nardini, H. Werner, J. Dvorník, G. Hogg, 1986; S. Pičulin, magistarski rad, 1988).

 U najnovije se vrijeme metode relaksacije u poopćenom obliku uključuju u automatske algoritme za rješavanje sustava nelinearnih jednadžbi. Spomenut će se tri cjelovitija programa za proračun štapnih konstrukcija razvijena u Zavodu:

·         Program SAM je razvijen za praktični proračun zidanih i armiranobetonskih zgrada (M. Srkoč,K.Fresl, Z. Despot, S. Pičulin, Z. Grotić). Zgrada je sastavljena od niza ravninskih makroelemenata (štapno modeliranih okvira ili zidova s otvorima). Program je instaliran u više projektnih organizacija.U taj je program, ali i u neke druge, uz ostale mogućnosti, uključen izvorni element štapa na Winklerovoj elastičnoj podlozi (M. Srkoč).

·         Razvijen je program MP za proračun ravninskih okvirnih konstrukcija (M. Anđelić). Upotreba programa je vrla jednostavna, a postoje mogućnosti grafičkog prikaza modela i rezultata. Program je namijenjen studentima, ali može poslužiti za proračune. tih konstrukcija u praksi.

·         Java applet DiM (Displacement Method) je, kao i MP, ponajprije edukacijski program za proračun ravninskih okvirnih konstrukcija (K. Fresl, P. Gidak). Dostupan na Internetu (http://www.grad.hr/nastava/gs/dim/dim.html).

Zidovi s otvorima

U praksi visokogradnje još se i sada upotrebljava sustav zidova s otvorima. Pojavila se potreba za jednostavnim proračunskim metodama. U svijetu su se pojavili mnogobrojni postupci rješavanja takvih konstrukcija, od kojih se neki svode na rješavanje diferencijalnih jednadžbi ili sustava, a drugi na rekurzivna rješenja metode konačnih diferencija. I u tim je rješenjima Zavod dao znatan doprinos.

U Zavodu je razvijeno rješenje pomoću diferencijalne jednadžbe, poopćenje ranijeg rada. M. Tessiera uz elastičnu upetost i popuštanje temelja. Rješenje za simetrične zidove može se prikazati s pomoću trigonometrijskih redova. Objavljeno je i rješenje za nesimetričan okvir (O. Werner, 1970).

Razvijen je također postupak diferencijskih jednadžbi drugoga reda po metodi sila s rekurzivnim rješenjem. Prednost je uzimanje u obzir uzdužnih deformacija zidova. Druga je prednost diskretno rješenje, koje je točnije od kontinuiranoga kod malog broja katova. Za razliku od drugih postupaka, vrlo je jednostavan i za zidove s više nizova otvora (V. Simović, disertacija, 197l).

Postupkom V. Simovića izrađen je kompjutorski program ZID-E (H. Werner). Program je upotrijebljen u proračunu velikog broja konstrukcija.

Rješenja statike i dinamike zidova s otvorima primijenjena su i na proračun željezničkih vagona (A. Kiričenko).

Provedena je usporedba linearne i nelinearne seizmičke analize za zid s jednim nizom otvora    (M. Rak, magistarski rad, 1986).

Istraživao se i utjecaj teorije II. reda, na zidove s otvorima ( A. Stupar, magistarski rad, 1995).

Teorija ploča

Doprinos je Zavoda u primjeni teorije ploča također znatan. Upotrebljavale su se različite metode.

Prilog teoriji oscilacija krute ploče i njezinoj primjeni na proračun dinamički opterećenih temelja (V. Andrejev, disertacija, 1952). Isti je autor objavio veći broj radova o problematici oscilacija ploča i krutih temelja.

Razvijen je postupak proračuna trokutnih upetih ploča za jednoliko i linearno promjenjivo opterećenje. Upotrijebljena je metoda konačnih diferencija s trokutnom i šesterokutnom mrežom (V. Modor, disertacija, 1956).

Kao ekstrapolacija Crossove metode razvijena je u Zavodu metoda relaksacije za križne pravokutne ploče, kontinuirane u dva smjera (O. Werner, Z. Modor). 

Pod vodstvom O. Wernera riješeno je numerički u Zavodu više problema ploča za praktične potrebe. Kao primjer navode se rješenja kružnih ploča promjenjive debljine sa i bez Winklerove elastične podloge metodom konačnih diferencija u polarnom koordinatnom sustavu.

Program PL je razvijen za proračun armiranobetonskih ploča sastavljenih od pravokutnih elemenata (M. Srkoč, K.Fresl, 1988). Program osim dvoosne relaksacije obuhvaća dimenzioniranje prema našim, DIN i SNiP propisima. Algoritam se temelji na interpolaciji tabličnih vrijednosti te je program mnogo brži od programa zasnovanih na metodi konačnih elemenata. Njegova je upotreba vrlo raširena u Hrvatskoj.

Teorija ljusaka

Istraživale su se ljuske različitih oblika (dvocilindrična, eliptična, konična, sferna, toroidna itd.) sa i bez ukrepa te njihova optimalizacija. Rezultati su upotrijebljeni za proračun podmornica (A. Kiričenko).

Spremnici sipkog materijala

U Zavodu je projektiran i revidiran veliki broj silosa i bunkera za rasuti materijal: žito, suncokret, cement, klinker itd. Proračun takvih konstrukcija bio je povezan sa znatnim teškoćama zbog nepoznavanja unutrašnjeg opterećenja te zbog složenosti konstruktivnih problema. (Teškoće vezane uz opterećenja nisu ni do danas znanstveno uklonjene, a za potrebe prakse se upotrebljavaju "propisani pritisci", koji su zbog sigurnosti viši od realnih.)

Kako bi se olakšao rad članova Zavoda kao i drugih projektanata istraživali su se problemi tih konstrukcija. Osim teorijskih, provedena su neka eksperimentalna istraživanja.

Prije dolaska u Zavod O. Werner je eksperimentalno istraživao razdiobu temperature u silosima cementa radi određivanja termičkih naprezanja. Zanimljivo je da je pri kraju ispitivanja našao objavljeni članak, u kojemu se opisivalo rješenje istog problema uz praktički identične rezultate, a autor se također zvao Otto Werner.

Rješavali su se različiti teorijski i konstruktorki problemi vezani za proračun i projektiranje poligonalnih silosa (S. Sablić, disertacija, Braunschweig, 1970).

Objavljen je prijedlog pojednostavnjenog proračunskog modela silosnih baterija s međućelijama. Model je zasnovan na kombinaciji dvaju štapnih modela i omogućuje jednostavnu mehaničku interpretaciju djelovanja konstrukcije. Istraživanje je provedeno zbog čestih oštećenja silosnih baterija s medućelijama, uzrokovanih neispravnim proračunskim modelima (M. Andelić, J. Dvornik, R. Fejzo, 1984).

U vezi s tim istraživao se raspored pritisaka u zrnatim materijalima uz pomoć metode diskretnih elemenata. Počelo je sa statičkim problemima (D. Lazarević, magistarski rad, 1997.), a nastavilo se s dinamičkim problemima kao što je pražnjenje silosa (D. Lazarević, disertacija, 2000.)

Dimenzioniranje armiranobetonskih presjeka

Riješeno je više zadataka dimenzioniranja armiranobetonskih i drvenih štapova i ploča. Izrađene su tablice i dijagrami za praktičnu upotrebu, te upute za približno dimenzioniranje armiranobetonskih presjeka bez upotrebe tablica (za fazu procjene količine armature u idejnim projektima). Rezultati istraživanja na tom području omogućili su znatnu racionalizaciju rada konstruktora ( O. Werner) .

Razvijen je algoritam i kompjutorski program za optimalno dimenzioniranje bilo kakvih armiranobetonskih presjeka uz bilo kakve radne dijagrame betona i čelika. (J. Dvornik, disertacija, 1972). Za koso savijanje pravokutnih presjeka posebno je objavljen priručnik s tablicama.

Poslije je algoritam i program za automatsko dimenzioniranje proširen i dotjeran (J. Dvornik, M. ,Srkoč, D. Radić, N. Petrinić). Taj se program vrlo široko upotrebljava u Hrvatskoj.

Metoda konačnih elemenata

Primjena metode konačnih elemenata započela je kod nas 1970-1971. Prvi program s kojim su tada radili članovi našeg Zavoda bio je SAP. Od tada je metoda konačnih elemenata nezaobilazno pomagalo za proračun svih ozbiljnijih konstrukcija. Vrlo rano su se počeli upotrebljavati za ono vrijeme izvanredno složeni modeli: kotlovnica Termoelektrane Urinj (J. Dvornik, N. Bićanić, 1974), hotelski kompleks u Dagomisu kraj Sočija u Ruskoj federaciji (H. Werner, Z. Despot).

Prvi vlastiti program za rješenje ravnog problema metodom konačnih elemenata izradio je V. Šimić u sklopu disertacije. Metoda konačnih elemenata je ubrzo ušla u nastavu -- V. Šimić je napisao prva skripta Uvod u metodu konačníh elemenata (predavanja na III. stupnju 1977/78).

Uskoro su uočeni nedostaci tadašnjih programa za metodu konačnih elemenata. zbog toga se pojavila ideja da se izradi vlastiti program opće namjene DISK (Dinamika i statika konstrukcija) (N. Bićanić, J. Dvornik, N. Ivančić, D. Nardini, H. Werner). Izrađena je početna verzija programskog priručnika s pojedinim iscrpno obrađenim dijelovima. Program se trebao ograničiti na linearne probleme, ali je već tada trebao sadržavati jednostavne dvodimenzionalne i trodimenzionalne generatore mreže elemenata i opterećenja. Ideja poopćenih kinematičkih ograničenja nije ni do danas ostvarena u onoj općenitosti koja je bila zamišljena u DISKu.

Treba priznati da je ideja o izradi univerzalnog programa svjetske vrijednosti s vrlo malim sredstvima, s ograničenim pristupom računalu i bez oslobađanja suradnika na projektu od ostalih zadataka, bila naivno entuzijastička. Ipak, i ono što je u tom projektu tada učinjeno, pokazuje da bar nismo oskudijevali u stručnjacima za takav zadatak. Na žalost, nikada nije započelo pisanje programa.

Ipak su se izrađivale djelomične modifikacije raspoloživih programa da bi se riješili pojedini problemi proračuna konstrukcija. Tako je program SAP bio prilagođen za proračun stabilnosti metalne kupole s početnom imperfekcijom te primijenjen za proračun montažnih faza kupole reaktorske zgrade (containmenta) Nuklearne elektrane Krško (R. Fejzo, J. Dvornik).

Kao sustavna modifikacija (uz više izvornih poboljšanja) programa SAP za osobna računala izrađen je program SPAN za statički i dinamički proračun štapnih i plošnih konstrukcija s automatskim dimenzioniranjem armiranobetonskih pravokutnih presjeka (J.Ožbolt, B. Škoro, J.Dvornik, B. Novak). Program se još upotrebljava u Hrvatskoj.

Razvijen je algoritam i izrađen program NELIN2D za proračun ravninskih štapnih konstrukcija kojim se uzimaju u obzir geometrijska i materijalna nelinearnost, te promjene modela konstrukcije tijekom izgradnje. Program sadrži i elemente gipkih kabela. Svaki se konačni element dijeli na više podelemenata po duljini i slojeva po debljini. Svaki podelement ima drugačija linearizirana svojstva ovisno o trenutnom stanju naprezanja i povijesti deformacija (J. Ožbolt). Taj se program često upotrebljava za proračun gipkih mostova uključujući i viseće.

Razvijen je i vlastiti algoritam i izrađen program za elektroničko računalo NELIN3D za prostorne štapne konstrukcije. I u tom se programu uzimaju u obzir geometrijska i materijalna nelinearnost i promjene sustava konstrukcije u vremenu. U usporedbi s programom NELIN2, uzete su nešto jednostavnije pretpostavke o ponašanju materijala. Sustavi nelinearnih jednadžbi rješavaju se Newton-Raphsonovom metodom. (J. Ožbolt, J. Dvornik). Prva verzija tog programa izrađena je za potrebe projekta sanacije plivačkog bazena na Poljudu u Splitu. Novije se verzije programa razvijene za općenitu upotrebu (J.Ožbolt). Danas se u Zavodu uz programe, koje su razvili članovi Zavoda, upotrebljavaju svjetski poznati programi STAAD3, SAP, LUSAS itd.

Istraživala se konvergencija metode konačnih elemenata (M. Meštrović, magistarski rad, 1998.).

Također su se istraživali stohastički konačni elementi (M. Meštrović, disertacija, 2003.).

Optimizacija

Istraživao se najpovoljniji oblik spojnica za građevinske skele te rudničkih stojki iz bešavnih cijevi (A. Kiričenko, 1956).

Za potrebe oblikovanja dimnjaka i spoja s okvirnim dijelom konstrukcije kotlovnice TE Urinj razvijen je poseban algoritam optimizacije po više kriterija i odgovarajući kompjutorski program (J. Dvornik, N. Bićanić, 1974.).

Elastomerni ležajevi

Provedena su također istraživanja elastomernih materijala, te konstrukcija i konstruktivnih elemenata od tih materijala:

·         Istraživao se utjecaj makroskopskih zaostalih naprezanja na mehanička svojstva polimera (Ž. Šimunić, magistarski rad, 1979).

·         Razvijen je postupak za dimenzioniranje elastomenih ležajeva (Ž. Šimunić, disertacija, 1990.).

·         Analizirale su se konstrukcije od elastomenih materijala - spremnici za tekućine, cijevi itd. (Ž. Šimunić).

·         Istraživale su se i konstrukcije od tradicionalnih materijala s elastomernim ležajevima ili s pojedinim elastomernim dijelovima kao mostovi, rezervoari, visokonaponski prekidači, prijelazne naprave za mostove, industrijska postrojenja itd. Teorijska su istraživanja bila podržana i eksperimentima (Ž. Šimunić, M. Srkoč, D. Nardini, J. Dvornik, M. Anđelić, S. Pičulin, J. Radić,  Lj. Herceg, G. Puž, J. Krolo, M. Petrović, Z. Marić).

Rješavanje sustava jednadžbi

Istraživali su se različiti direktni i iterativni postupci za rješavanje sustava linearnih jednadžbi i objavljeno više radova s tom problematikom (V. Andrejev).

Razvijen je algoritam za rješavanje velikih sustava linearnih i nelinearnih jednadžbi, zasnovan na poopćenju metode konjugiranih gradijenata. Prednost je ušteda memorije i brzina. Zapisuju se samo "nenulti" elementi matrice što je kompjutorska varijanta štedljivog zapisa u "ručnim" metodama relaksacije (J. Dvornik). Postupak je primijenjen za metodu konačnih elemenata, metodu konačnih diferencija i metodu rubnih elemenata. (Opisani je algoritam primijenjen u programu BIEM za prostorne modele pomoću rubnih elemenata razvijen na Politehničkom sveučilištu u Madridu.) Najnovija verzija programa je poboljšana (J. Dvornik, D. Lazarević).

K. Fresl. je istraživao višemrežnu metodu za efikasno rješavanje velikih sustava linearnih i nelinearnih jednadžbi (disertacija, 1998.) te izradio program za elektroničko računalo za primjenu na određivanje oblika vlačnih konstrukcija uz pomoć metode konačnih diferencija i metode konačnih elemenata.

Određivanje oblika vlačnih konstrukcija

Problem prostornih gipkih konstrukcija od užadi pojavio se u našem Zavodu kad je trebalo projektirati sanaciju plivačkog bazena na Poljudu u Splitu, koji je natkriven takvom konstrukcijom. Posebnu su poteškoću uzrokovali veliki horizontalni i rotacijski pomaci armiranobetonskih greda, na koje je konstrukcija pričvršćena. Bilo je potrebno složenim proračunskim modelom istodobno proračunati armiranobetonsku konstrukciju i krov od užadi, pazeći na opasnost od loše uvjetovanosti numeričkog modela. Zbog toga je u već spomenuti program NELIN3D ugrađen razmjerno jednostavan, ali numerički stabilan model takve konstrukcije od užadi (J. Dvornik, J. Ožbolt, R. Fejzo).

Napisan je program zasnovan na vlastitom algoritmu za numerički proračun krovnih konstrukcija od tkanine (R. Oras, specijalizant u Zavodu iz Estonije, i mentor J.Dvornik) S tim je programom uspješno proračunana jedna športska hala za tenis u Tallinu (Estonija).

Izrađen je program za nalaženje oblika i proračun krova od užadi (D. Lazarević, diplomski rad, pod vodstvom J. Dvornika).

Riješeni su teorijski problemi, razvijen algoritam te napisan opći programski paket CABLE za proračun konstrukcija od užadi, tkanine i kombinacija užadi i tkanine. Mogu se uključiti piloni i pojedinačni tlačni štapovi te tzv. tensegrity konstrukcije. Program se može primijeniti i na oblikovanje tlačnih konstrukcija po analogiji s vlačnima. Program sadrži više varijantnih algoritama integriranih u cjelinu (J. Dvornik, D. Lazarević, a grafičke su dijelove programa razvili M. Kovač i P. Presečki).

Već je spomenuto daje K. Fresl. višemrežnu metodu u svojoj disertaciji primjenio na određivanje oblika vlačnih konstrukcija.

Utjecaj intenziteta udarnog opterećenja na promjenu dinamičkih parametara armiranobetonskih konstrukcija

Tim se problemom bavio M. Rak (disertacija, 1996.).

Proračun tankih trapeznih limova za pokrove čeličnih krovišta.

Tim problemom se bavila D. Šimić (magistarski rad, 2000.).

Stručni istraživački radovi

Ovdje će se spomenuti nekoliko stručnih preporuka kojima je najčešće autor bio O. Werner.

Preporuke su nastale oslanjajući se na konstruktorsko iskustvo i intuitivnu interpretaciju djelovanja konstrukcija, bez primjene stroge znanstvene metode. One su bile izvanredno važne za unapređenje metoda projektiranja u Hrvatskoj u predkompjutorsko vrijeme. Kasnije su  usporedbe s kompjutorskim proračunima ponešto korigirale te modele. Oni su se pokazali ispravnima glede globalne ravnoteže, dok su manja lokalna odstupanja u razdiobi naprezanja kompenzirana preraspodjelom unutrašnjih sila i faktorima sigurnosti.

O. Werner je dao smjernice za praktični proračun poliedarskih silosnih lijevaka. Prihvaćen ,je ,jednostavan proračunski model uz vrlo grube pretpostavke, pa su samo uvjeti ravnoteže (za propisano opterećenje) striktno zadovoljeni, a uvjeti kompatibilnosti vrlo približno. Taj je proračunski model ipak znatno bolji od onih koji su se prije preporučivali u literaturi. Rezultati su objavljeni.

O. Werner je dao preporuku za približni proračun kratkih konzola i nepravilnih visokostjenih nosača. Postupak se sastoji od crtanja procijenjenih trajektorija naprezanja prema iskustvu i "osjećaju", ali i uz poštivanje nekih uvjeta, a potom rastavljanja sila u smjerove trajektorija, što osigurava zadovoljenje uvjeta ravnoteže. Usporedbe s rezultatima znanstveno utemeljenih proračuna pokazale su začuđujuće podudaranje. (Naravno, metoda nije "objektivna" jer rezultati ovise o osobi koja ju upotrebljava.) Dao je i preporuke za dimenzioniranje kratkih konzola. Taj je rad bio potaknut učestalim pogreškama u projektima.

Također je dao smjernice za pojednostavnjene proračune prostornih i plošnih konstrukcija uz pomoć analogije s rešetkastim nosačima, te za proračune ploča različita oblika, rubnih uvjeta i opterećenja po analogiji sa štapnih roštiljnim konstrukcijama.

O. Werner je također dao smjernice za približni, ali za praksu sigurni, proračun kratke anizotropne ljuske sastavljene od montažnih gredica (poznate kao Wernerove ljuske).

O. Werner je više svojih preporuka zasnivao na ideji omeđenja rezultata odabiranjem dviju ekstremnih pretpostavaka. Tako je primjerice elastično upetu ploču, kojoj je stupanj upetosti nepouzdan, proračunao jednom kao slobodno oslonjenu, a drugi put kao potpuno upetu. Za dimenzioniranje je odabrao nepovoljniju od dviju unutrašnjih sila. Rezultat daje veću sigurnost od uobičajenih proračuna, na račun ekonomičnosti. To se kompenzira smanjenjem proračunskog faktora sigurnosti. Na sličan je način za ploču na tlu, u slučaju nepoznatih ili nepouzdanih podataka o tlu, pretpostavljao jednom vrlo krutu, a drugi put gipku podlogu. Još jedan primjer je reakcija tla ispod temeljnih ploča silosa i drugih objekata, gdje je kao ekstremne pretpostavio jednom konkavnu, a drugi put konveksnu razdiobu ležajnih pritisaka po zakonu parabole, vodeći računa da rezultanta reaktivnog pritiska mora biti jednaka rezultanti opterećenja.

Z. Modor je vlastite rezultate istraživanja trokutnih ploča nadopunio raspoloživim podacima iz literature o rješenjima ploča različitih oblika (pravokutnih, kružnih, polukružnih, trapeznih, romboidnih itd.) i različitih rubnih uvjeta te došao do jednostavnih "faust formula" za grubu procjenu momenata savijanja na pločama općenitog oblika. Te su se formule poslije upotrebljavale pri proračunima industrijskih objekata.

M. Anđelić i O Werner objavili su preporuke za odabir proračunskih vrijednosti pritisaka u silosima za žito. Preporuke su bile zasnovane na  mjerenjima provedenim u Zavodu koje je vodio LJ. Herceg, na propisima raznih zemalja te iskustvima s oštećenim objektima.